🔍 Как найти локальный минимум функции Python? ⚙️

Как найти локальный минимум функции в Python?

Для поиска локального минимума функции в Python можно использовать библиотеку SciPy, которая предоставляет метод minimize_scalar().

      
from scipy.optimize import minimize_scalar

def func(x):
    return x**2 + 5*x + 6

result = minimize_scalar(func)
local_min = result.x

print(f"Локальный минимум функции: {local_min}")
      
   

В приведенном примере мы определяем функцию func, которая соответствует функции, для которой мы хотим найти локальный минимум. Затем мы используем метод minimize_scalar() из библиотеки SciPy, чтобы найти локальный минимум этой функции. Результатом является атрибут x объекта result, который содержит значение найденного локального минимума. Выводим найденный локальный минимум на экран с помощью функции print().

Как найти локальный минимум функции в Python

Когда мы работаем с функциями, иногда нам может потребоваться найти локальный минимум - точку, в которой функция достигает самого низкого значения в некотором окрестности. На помощь приходят различные алгоритмы оптимизации, которые помогают нам найти эту точку. В этой статье мы рассмотрим несколько методов нахождения локального минимума функции в Python.

Метод градиентного спуска

Один из самых популярных методов оптимизации - это метод градиентного спуска. Он основан на идее использования производных функции для поиска точки минимума. Градиент функции показывает направление наискорейшего возрастания функции, поэтому мы можем двигаться в противоположном направлении, чтобы найти точку минимума.

Вот пример кода, демонстрирующий использование метода градиентного спуска для поиска локального минимума функции:

import numpy as np

def gradient_descent(f, x0, learning_rate, epsilon, num_iterations):
    x = x0
    for i in range(num_iterations):
        grad = np.gradient(f(x))
        x -= learning_rate * grad
        if np.linalg.norm(grad) < epsilon:
            break
    return x

# Пример использования
def f(x):
    return x**2 + 2*x + 1

x0 = 0
learning_rate = 0.1
epsilon = 1e-6
num_iterations = 100

local_min = gradient_descent(f, x0, learning_rate, epsilon, num_iterations)
print("Локальный минимум:", local_min)

Код выше использует библиотеку NumPy для вычисления градиента функции. Мы задаем начальное значение x0, скорость обучения learning_rate, критерий остановки epsilon (норма градиента) и количество итераций num_iterations. Затем мы вызываем функцию gradient_descent, которая постепенно обновляет значение x в направлении наискорейшего убывания функции.

Метод оптимизации SciPy

Еще один удобный способ найти локальный минимум функции - это использование метода оптимизации SciPy. SciPy предоставляет набор функций для оптимизации, включая поиск локального минимума.

Вот пример кода, использующий метод оптимизации SciPy:

from scipy.optimize import minimize

def f(x):
    return x**2 + 2*x + 1

x0 = 0

result = minimize(f, x0)

print("Локальный минимум:", result.x)

Код выше использует функцию minimize из модуля scipy.optimize для поиска локального минимума функции f. Мы задаем начальное значение x0 и вызываем функцию minimize, передавая ей функцию f в качестве аргумента. Результатом будет объект с оптимальным значением x в атрибуте x.

Рекурсивный алгоритм деления пополам

Если мы хотим найти локальный минимум в отрезке, мы можем использовать рекурсивный алгоритм деления пополам. Идея заключается в том, чтобы разделить отрезок на две части и рекурсивно найти локальные минимумы в каждой половине. Затем мы выбираем наименьший из них и возвращаем его.

Вот пример кода, реализующий рекурсивный алгоритм деления пополам:

def f(x):
    return x**2 + 2*x + 1

def recursive_search(left, right, epsilon):
    if right - left < epsilon:
        return (left + right) / 2
    else:
        mid1 = (2 * left + right) / 3
        mid2 = (left + 2 * right) / 3
        if f(mid1) < f(mid2):
            return recursive_search(left, mid2, epsilon)
        else:
            return recursive_search(mid1, right, epsilon)

left = -10
right = 10
epsilon = 1e-6

local_min = recursive_search(left, right, epsilon)
print("Локальный минимум:", local_min)

Код выше реализует функцию recursive_search, которая рекурсивно разделяет отрезок и находит локальный минимум функции f. Мы задаем начало и конец отрезка (left и right) и критерий остановки epsilon. Функция возвращает локальный минимум, если разница между left и right меньше epsilon, иначе она рекурсивно вызывает себя для двух половин отрезка.

Заключение

В этой статье мы рассмотрели несколько методов нахождения локального минимума функции в Python. Мы изучили метод градиентного спуска, который использует производные функции для поиска точки минимума. Также мы рассмотрели метод оптимизации SciPy, который предоставляет удобный интерфейс для поиска локального минимума. Наконец, мы изучили рекурсивный алгоритм деления пополам, который позволяет найти локальный минимум в отрезке.

Надеюсь, эта статья помогла вам понять, как найти локальный минимум функции в Python. Используйте эти методы в своих проектах и экспериментах для достижения оптимальных результатов.